Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices - download pdf or read online

By Patrice Tauvel

ISBN-10: 2100500740

ISBN-13: 9782100500741

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Définition. On dit qu’une fonction définie sur un ouvert U de C est analytique dans U si elle est développable en série entière en tout point de U . 1 Exemple. La fonction z → est analytique sur C∗ car, si a ∈ C∗ et |z − a| < |a|, z on a : ∞ (1)n 1 = (z − a)n . 2. Si U est un ouvert de C, on note A(U ) l’ensemble des fonctions analytiques sur U . 8, il est clair que A(U ) est une C-algèbre contenant la C-algèbre des fonctions polynômes sur C. D’après ce que l’on a vu au chapitre 3, une fonction analytique sur U est indéfiniment dérivable sur U et ses dérivées sont analytiques.

D’où : |Un − Uν(θ(n)) | + |Uν(θ(n)) − V | = |Un − Uν(θ(n)) | + |Vθ(n) − V | n |Vθ(n) − V | + |un | |Vθ(n) − V | + δn , k=1+ν(θ(n)) avec δn = max{|uk | ; ν θ(n) < k n}. D’après les hypothèses et ce qui précède, on voit donc que Un tend vers V quand n tend vers +∞. Remarque. 1 est parfois appelé le théorème de sommation par tranches. un et vn ne diffèrent que par l’ordre des termes s’il existe une permutation σ de N telle que v n = uσ(n) pour tout n ∈ N. 2. On dit que deux séries (−1)n+1 n−1/2 est convergente.

6. (Formule de Hadamard). Le rayon de convergence R d’une série entière an z n est donné par : 1 = lim sup R n n |an |. Démonstration. Si z ∈ C, on a : lim sup n n |an z n | = |z| lim sup n n |an |. 1. an z n une série entière de rayon de convergence R. 7. Soit (i) Si la suite ( n (ii) On suppose an = 0 pour n assez grand. Si la suite (|a n+1 /an |)n a une limite 1 ∈ R+ ∪ {+∞}, alors R = · Démonstration. 4. an z n et bn z n des séries entières de rayons de convergence R1 et R2 . On note respectivement ρ 1 et ρ2 les rayons de convergence des séries entières somme et produit, notées cn z n et dn z n .

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